Operações com funções

Também é possível realizar operações com funções: 

Operações de soma, diferença, produto, quociente, e até competências.

Transformações lineares

Em Matemática, uma transformação linear é um tipo particular de função entre dois espaços vectoriais que preserva as operações de adição vectorial e multiplicação por escalar. Uma transformação linear também pode ser chamada de aplicação linear ou mapa linear. No caso em que o domínio e contradomínio coincidem, é usada a expressão operador linear. Na linguagem da álgebra abstracta, uma transformação linear é um homomorfismo de espaços vectoriais.

Função linear 

Função linear é a função matemática que possui duas propriedades:

Adictividade:

f (x+x^i) = f (x)+f(x^i)

Homogeneidade:

f (ax)=af (x). 

Em suma: f (ax+〖bx〗^i )=a*f (x)b*f (x^i).

As funções lineares são funções cujo gráfico é uma recta que atravessa a origem do plano cartesiano, isto é, em que b=0.

Definição

Chama-se função linear à função definida por uma equação da forma y=ax em que  a é um número real.

y é a variável dependente e a variável independente;

a é o coeficiente angular

Nota: geralmente os economistas chamam a qualquer reta da forma y=mx+b uma função linear. No entanto, o conceito puro matemático, requer que a ordenada na origem seja zero para que a função seja considerada linear. Quando  b é diferente de zero, passa-se a chamar de função afim.

A definição mais geral de função linear é feita no contexto da álgebra linear, e depende do conceito de espaço vetorial.

Função Exponencial e Logarítmica

Seja $latex a\in{\mathbb R}^+\setminus\{1\}. Chamamos função exponencial de base  à função real de variável real.

O seu domínio é   e o contradomínio é  . A função é injetiva e sua monotonia depende do valor de  . Em particular, se   a função é estritamente crescente, enquanto que se   a função é estritamente decrescente.

Exemplo: Representações dos gráficos de algumas funções exponenciais com base maior que 1:

Em particular, quando  , chamamos logaritmo Neperiano ao logaritmo de base   e representa-se usualmente por  . Temos   se e só se  . No caso de a base ser 10 representa-se simplesmente por  .

É necessário, no entanto, ter algum cuidado com a notação, pois alguma bibliografia opta por   para representar o logaritmo Neperiano.

Funções Trigonométricas

Função Seno

Dado um ângulo cuja medida é dada em radianos é x, chamamos de função seno a função que associa a cada x ∈ R o número (senx) ∈ R. Indicamos essa função por:

f(x) = sen(x)

O gráfico da função seno, no plano cartesiano, será uma curva denominada senóide. Atribuindo valores ao arco x, pode-se chegar ao gráfico.

Propriedades:

- Domínio: R

- Imagem: [-1;1]

- Período: 2πrad

Função Co-seno

Dado um ângulo cuja medida é dada em radianos é x, chamamos de função co-seno à função que associa a cada x ∈ R o número (cosx) ∈ R. Indicamos essa função por:

f(x) = cos(x)

O gráfico da funcão co-seno, no cartesiano, será uma curva denominada co- senóide. Atribuindo valores ao arco x, pode-se chegar ao gráfico.

Propriedades:

- Domínio: x≠kπ+π2

- Imagem: R

- Período: π rad

Derivadas das funções trigonométricas inversas

Um problema comum em trigonometria é achar um ângulo cujas funções trigonométricas são conhecidas.

Problemas deste tipo envolvem a computação de funções arco, tais como arcsen x, arccos x, arctg x, e assim por diante. Consideremos esta ideia do ponto de vista de funções inversas, com a meta de desenvolver fórmulas de derivadas para as funções trigonométricas inversas.

   

Identidades para funções trigonométricas inversas

Se interpretamos   x como um ângulo medido em radianos cujo seno é x, e se aquele ângulo for não negativo, então podemos representar   x como um ângulo em um triângulo retângulo, no qual a hipotenusa tem comprimento 1 e o lado oposto ao ângulo de   tem comprimento x (figura a). Pelo Teorema de Pitágoras, o lado adjacente para o ângulo    tem comprimento  .

Além disso, o ângulo oposto a    é  , uma vez que o co-seno daquele ângulo é x (figura b). Este triângulo motiva várias identidades úteis, envolvendo funções trigonométricas que são válidas para   . Por exemplo:

Analogamente,  x e   x podem ser representadas com ângulos de triângulos retângulos mostrados na figura c e d. Esses triângulos revelam mais identidades úteis, como por exemplo:

Composição de Funções

Sabemos que uma função é uma relação existente entre duas variáveis, onde uma depende do valor da outra, formando assim pares ordenados que podem ser representados no plano cartesiano. Observe alguns exemplos de funções e suas definições:

Mas, e se quisermos chegar a um determinado resultado aplicando um número real sucessivamente à lei das funções: f e g? Para esse tipo de situação utilizamos as propriedades de uma função composta, nesse caso devemos originar uma nova função, observe: h(x) = g(f(x)), função h é a composta de g com f.

Matematicamente falando, temos que f: A → B e g: B → C, denomina a formação da função composta de g com f, h: A → C. Dizemos função g composta com a função f, representada por gof.

Exemplo 1

Dada as funções f e g de domínio real definidas por f(x) = 3x – 2 e g(x) = – 4x + 1. Determine a lei que define:

Exemplo 2

Sejam as funções f(x) = 2x – 6 e g(x) = x + 10, determine o valor de:

Conclusão 

Findo trabalho pude concluir que uma função é uma relação especial, que é definida da seguinte maneira: sejam dois conjuntos A e B, tais que para todo elemento x pertencente a A, haja uma correspondência de um elemento y pertencente a B. Essa correspondência é a função. 

No seio do mesmo pude perceber que podemos designar função como uma relação entre dois conjuntos, representada por uma lei de formação, que associa os valores de x e y. De acordo com a lei de formação, cada valor de y depende do valor de x, essa relação de dependência é a principal característica de uma função. O estudo das funções exige conhecimentos básicos, que ajudam na interpretação de situações problemas e desenvolvimento de cálculos. 

Bibliografia